Einführung in die Topologie

Urs Holzer

Status: Experimentell! Für den Endbenutzer ist dieses Dokument noch nicht geeignet. Willst du etwas über Topologie lernen, dann bist du hier leider nicht am richtigen Platz. Willst du hingegen OMDoc oder Annotea ausprobieren oder mir helfen den Text zu schreiben, dann geh voran! (Und schau in diesem Fall auf die Indexseite für weitere Informationen.)

Dieser Text ist eine Einführung in die Topologie für Schüler die vor dem Studium stehen und für andere interessierte Personen, die nicht Mathematik studieren. Mathematikstudenten sind an diesem Text wohl nicht interessiert, denn dieser Stoff wird spätestens im vierten Semester vermittelt, mit höherem Tempo und viel weitreichender. Weshalb diesen Text lesen? Naja, ganz einfach weil es Spass macht.

Motivation dieses Dokument zu schreiben ...

Vorbereitung

Zuerst müssen wir einige Notationen einführen, die dem geschätzten Leser vielleicht noch nicht bekannt sind. Einerseits müssen wir die Notation von Funktionen etwas ausbauen, was am Anfang etwas ungewohnt scheinen mag. Sei f:X→Y eine Funktion. Für ein x∈X bezeichnen wir den Punkt auf den x von f abgebildet wird mit f(x). Das ist soweit nichts neues. Sei aber nun A⊂X. Dann macht bisher f(A) keinen Sinn, denn A∉X (im Allgemeinen). Wir definieren nun f(A) als die Menge der Bilder der Punkte aus A, also f(A) = { f(x): x ∈ A }. f(A) heisst Bild von A. f^-1 kennen wir als die Notation für die Umkehrfunktion. Allerdings existiert die nicht immer. Sei B⊂Y. Wir definieren nun f^-1(B) als f^-1(B) = { x ∈ X: f(x) ∈ B }, was immer existiert. f^-1(B) ist das sogenannte Urbild von B.

Als zweites führen wir die Quantoren ∀ und ∃ ein. Diese erlauben uns eine kurze Notation für einfache Aussagen, die wir sonst mühsam im Text ausführen müssten. Wir werden die Quantoren fleissig benutzen. ∀ heisst Allquantor. ∀x∈X: f(x)=0 beudeutet zum Beispiel, dass für alle Elemente x der Menge X gilt, dass f(x)=0. ∃ heisst Existenzquantor. ∃x∈X: f(x)=0 beispielsweise besagt, dass es ein Element in X gibt, das von f auf 0 abgebildet werden. (Mit "es gibt ein" ist immer gemeint, dass es eines oder mehrere gibt. Will man sagen, dass es eines und nicht mehr als eines gibt, sagt man "es gibt genau eines".)

2. Mengentheoretische Topologie

2. Grundlegende Definitionen

Wir beginnen mit ein paar grundlegenden Definitionen. Dies mag zunächst trocken wirken, aber gleich danach werden wir erste Beispiele betrachten. Dann werden wir auch sehen, dass man sich sehr wohl die Definitionen auch bildlich vorstellen kann, dass manchmal aber auch ganz verrückte Dinge passieren.

Concepttopology

Concepttopospace

Sei $X$ eine Menge. T ⊂ 𝒫 ( X ) heisst Topologie auf X, falls

$(X \in T) \land (\emptyset \in T)$ , das heisst, die ganze Menge $X$ und die leere Menge müssen drin sein.
$\forall A, B . ((A \in T) \land (B \in T) \Rightarrow A \cap B \in T)$ , das heisst, dass für zwei Mengen die drin sind auch deren Schnitt drin ist.
( ∀ ι ∈ I : A ι ∈ T ) ⇒ ⋃ ι ∈ I A ι ∈ T , das heisst, dass für eine beliebige Anzahl von Mengen die drin sind, deren Vereinigung auch wieder drin sein muss.

Das Tupel $(X, T)$ heisst topologischer Raum. Die Elemente von X nennen wir Punkte.

Dabei ist wichtig, dass beliebige Vereinigungen von Mengen aus der Topologie wieder in der Topologie liegen müssen. "beliebig" beudeutet, dass es auch Vereinigungen von (überabzählbar) unendlich vielen Mengen sein können. Bei den Schnitten ist es anders, es müssen nur Schnitte von endlich vielen Mengen aus der Topologie wieder in der Topologie liegen.

Notation: Oft wird für einen topologischen Raum statt (X,T) nur X geschrieben, wenn es klar ist, welche Topologie T gemeint ist.

Die Mengen in der Topologie heissen offen. Jede Menge deren Komplement offen ist, heisst abgeschlossen.

Es gilt allgemein ${(⋃_{ι \in I} M_{ι})}^{∁} = ⋂_{ι \in I} {M_{ι}}^{∁}$ was als de Morgans Regel bekannt ist. Deshalb sind beliebige Schnitte von abgeschlossenen Mengen und endliche Vereinigungen abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen, genau anders herum als bei den offenen Mengen.

Conceptinner(Definition)

Conceptclosure(Definition)

Conceptouter(Definition)

Conceptboundary(Definition)

Der Abschluss $\bar{M}$ einer Menge $M$ ist der Schnitt aller Mengen die $M$ enthalten, nämlich $\bar{M} = ⋂_{A \supset M, A abgeschlossen} A$ . Da beliebige Schnitte von abgeschlossenen Mengen abgeschlossen sind, ist der Abschluss, wie erwartet, abgeschlossen. Bildlich gesprochen ist der Abshluss die kleinste abgeschlossene Menge die M enthält. Äquivalent kann man den Abschluss auch als das Komplement der Menge aller äusseren Punkte definieren.

Ein innerer Punkt einer Menge M ist ein Element von M das in einer offenen Teilmenge von M enthalten ist. Das Innere $M^{\circ}$ einer Menge $M$ ist die Menge aller inneren Punkte von M. Äquivalent kann man das Innere auch als Vereinigung aller offenen Teilmengen definieren, nämlich $M^{\circ} = ⋃_{U \subset M, U offen} U$ . Tatsächlich ist das innere offen, denn beliebige Vereinigungen von offenen Mengen sind offen. Bildilich gesprochen ist das Innere von M die grösste offene Teilmenge von M.

Ein Punkte der im Inneren des Komplements von M ist, wird äusserer Punkt von M genannt.

Der Rand $\partial M$ einer Menge $M$ ist $X ∖ (M^{\circ} \cup out (M))$ , also alle Punkte des Raumes die weder innere noch äussere Punkte von M sind. Äquivalent ist der Rand von M auch der Abschluss von M ohne das Innere von M, $\bar{M} ∖ M^{\circ}$ .

2. Beispiele

2. Diskrete und indiskrete topologie

Zuerst schauen wir uns die beiden extremen Fälle an. Man kann leicht überprüfen, dass die folgenden Topologien sind.

Conceptdiscrete_topology(Definition)

Wir Definieren die diskrete Topologie auf einem Raum X als die Menge aller Teilmengen, d.h. alle Mengen sind offen.

Concepttrivial_topology(Definition)

Die triviale Topologie auf einem Raum X besteht nur aus dem ganzen Raum und der leeren Menge.

2. Endliche Topologien

Um den Umgang mit der Definition einer Topologie etwas zu üben, betrachten wir hier ein paar Beispiele von Topologien auf Räumen die nur eine endliche Anzahl von Elementen haben.

$(\{1, 2, 3\}, \{\emptyset, \{1\}, \{1, 2, 3\}\})$ ist ein topologischer Raum.

2. Metrische Toplogie (Balltopologie) in R^n

Conceptmetric(Definition)

Conceptnorm(Definition)

Conceptball(Definition)

Conceptmetric_topology(Definition)

Wir werden uns nun eingehend mit der metrischen Topologie beschäftigen. Sie wird uns durch den gesamten Text begleiten. Speziell die metrische Topologie auf R^2 mit der Standardmetrik wird uns beschäftigen, da wir diese aufmalen können.

Eine Metrik ist eine Funktion d:X×X→ℝ mit folgenden Eigenschaften:

Symmetrie:
Dreiecksungleichung: d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)

Eine Metrik gibt soetwas wie den Abstand zweier Punkte an. Der Begriff einer Norm, den wir gleich definieren werden, ist dem Leser wahrscheinlich bekannt. Aus jeder Norm kann man eine Metrik gewinnen.

Eine Norm ist definiert auf einem Vektorraum X als Abbildung ||·||:X→ℝ mit den Eigenschaften:

||x|| ≤ 0; ||x||=0 ⇔ x=0
||rx||=r||x||
||x+y||≤||x||+||y||

d(x,y)=||x-y|| definiert eine Metrik auf einem Vektorraum X.

In dem Raum ℝ^n sollte dem Leser eine Norm sehr bekannt sein, nämlich die euklidische. In ℝ^2 ist dies ||x||=sqrt(x1^2+x2^2). Die daraus entstehende Metrik d(x,y)=||x-y||=sqrt((x1-y1)^2+(x2-y2)^2) nennen wir Standardmetrik auf ℝ^2. Dies ist das was wir unter dem Abstand von zwei Punkten in der Ebene verstehen.

Nun definieren wir B_ε(x) den Ball vom Radius ε um den Punkt x als { y: d(x,y)<ε }, wobei ε∈ℝ und ε>0. Dies sind also alle Punkte deren Abstand zu x kleiner ist als ε. Vorstellen kann man sich einen Ball wie ein Apfel ohne Haut: Der Ball ist der Inhalt einer Kugel, aber ohne deren Oberfläche.

Nun definieren wir, welches die offenen Mengen sein sollen: Eine Menge U in der metrischen Topologie auf X sei offen, wenn ∀ x∈U ∃ ε>0: B_ε(x) ⊂ U, also wenn es für jeden Punkt x in U einen Ball um x gibt, der noch ganz in U liegt.

Ein Ball ist in der metrischen Topologie eine offene Menge.

Die oben definierten offenen Mengen bilden eine Topologie.

Leere Menge und ganz X sind in der Topologie
by (on d27e832)
Schnitte
by (on d27e843)
Vereinigungen
by (on d27e854)
Also ist es wirklich eine Topologie
by (on d27e865, d27e867, d27e869)

2. P-adische Zahlen

2. Stetige Abbildungen

Aus der Schule kennen wir den Begriff der Stetigkeit einer Funktion etwa so: Wenn man den Graphen einer Funktion zeichnen kann, ohne den Stift abzuheben, so ist die Funktion stetig. In diesem Abschnitt lernen wir eine ganz andere Definition der Stetigkeit kennen. Diese ist unter gewissen Umständen sogar äquivalent zur anderen mit dem Stift.

Conceptcontinuous(Definition)

Seien $(X, S)$ , $(Y, T)$ topologische Räume. Eine Abbildung f:X→Y heisst stetig, falls alle Urbilder offener Mengen offen sind, d.h. falls $\forall U \in T : f^{- 1} (U) \in S$

Die Identität ist stetig.

Die Identität ist stetig.

Die Verknüpfung zweier stetiger Abbildungen ist stetig.

Wir haben nun bereits eine erste Aussage bewiesen, die wir mit der Definition aus der Schule, diejenige mit dem Stift, niemals hätten beweisen können.

Concepthomoeom(Definition)

Seien X, Y topologische Räume. Eine bijektive Abbildung f:X→Y für die f und f^-1 stetig sind heisst Homöomorphismus.

Todo: Weierstrass und stetigkeit in metrischen Topologien

2. Konvergenz

Die Topologie sagt uns, wann eine Folge von Punkten konvergiert.

Conceptconverges_to(Definition)

Sei (x_k)⊂X eine Folge von Punkten x_k in einem Topologischen Raum X. Man sagt, x_k konvergiere gegen x∈X falls für jede Umgebung von x ein n existiert, so dass ∀k≥n: x_k∈Umgebung.